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2015年度自由ヶ丘高校入試問題(過去問) 解答解説

自由ヶ丘高等学校数学過去問研究


2015年度 自由ヶ丘高校一般数学入学試験問題は 例年通り 小問集合と大問5題の構成でした。特定分野に偏った出題はなく、また中学レベルを超えた出題はありません。教科書を満遍なく学習しましょう。


今回は4.円の性質を詳しく解説します。

問題4

スペースONEプロ家庭教師の解答で、自由ヶ丘高校の発表ではありません。

(1) 解説解答

(1) OBの長さは □である。
解答
∠OBA = 90 - 60 = 30°

△OBAは内角がそれぞれ30°,60°の直角三角形なので、辺の比よりOB:AO = 2:1

答   2
(2) 解説解答
(2) △PCQにおける内角Cの大きさは□°である。
解答
円Cの中心と点P,点Qを直線で結ぶ。円の接線は、接点を通る半径に垂直なので、∠OPC = ∠OQC = 90°

四角形OPCQの内角の和は360°なので、∠PCQ = 360 - (90×2 + 60) = 120

答   120°
(3)  解説解答
解答
図の通り △OPC≡△OQC

△OPCは∠OPC = 90°,∠PCO = 60°,∠COP = 30°なので、

PC = OP - OA = 3 - 1 = 2

答  AP = 2



(3) - A 3点C,P,Qを通る円の半径は□である。
解答
△PCQはPC = QCの二等辺三角形なので、頂点Cの二等分線は辺PQを垂直に二等分する。

△PCQの外心は∠PCQの二等分線上にあり、外心をDとする。

外心Dから辺PCの中点に垂線をおろしその交点をEとする。

△DECは∠DEC = 90°,∠ECD = 60°,従って∠CDE = 30°。

辺の比はEC:CD = 1:2 なので
 


☆ 三角形の外接円の中心(外心)は三角形の三辺の垂直二等分線の交点である。
(4) 解説解答
解答
円がnに接する点をDとする。円の接線は、接点を通る半径に垂直なので、∠ADC = 90°

また、円外の1点からその円にひいた2つの接線の長さは等しいのでAD = AP

したがって 四角形APCDは正方形。


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