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開成高校 過去問対策

開成高等学校数学過去問研究

開成高等学校2016年度数学入試問題は大問4題構成。1.小問集合6問, 2.関数とグラフ 3.平面図形 4.空間図形が出題されました。

今回は、3.平面図形を解説します。(1)~(3)は三平方の定理や相似形の基本問題,(4)はかなりの難問でした。

数学入試問題 平面図形3.


                                   

開成高校2016年度 数学入試問題 3. 平面図形 問題

図のように、1辺の長さが2の正方形ABCDの辺AD上に点Eをとり、Bを中心とする半径2の円と線分BEの交点をFとする。また、点Fにおけるこの円の接線と辺CD,DAとの交点をそれぞれG,Hとする。AE:ED = 3:1の場合について、以下の問いに答えよ。

正方形に内接する円

(1) 線分EFの長さを求めよ。

(2) A,B,C,・・・Hを頂点とする三角形の内で、△DEGと合同なものをひとつ挙げよ。ただし、△DEG自身は除くものとする。

(3) 線分FHの長さを求めよ。

(4) 直線GEと直線BDとの交点をIとして、直線HIと直線GDの交点をJとするとき、線分JGの長さを求めよ。

(1) 解説解答

(1) 線分EFの長さを求めよ。

解説解答

相似形

△AEBにおいて、


三平方の定理



(3) (4) 解説解答


(3) 線分FHの長さを求めよ。

解説解答

相似形から線分の長さを求める

△AEBEと△FHEにおいて、

∠EAB = ∠EFH = 90°

∠BEA = ∠HEF (共通)

二角相等より△AEBE ∽ △FHE

よって EA:AB = EF:FH


開成高校数学解答


(4) 直線GEと直線BDとの交点をIとして、直線HIと直線GDの交点をJとするとき、線分JGの長さを求めよ。

解説解答

合同な三角形

△FHEと△DHGにおいて、

∠EFH = ∠GDH = 90°

∠FHE = ∠DHG (共通)

二角相等より△FHE ∽ △DHG

(3) より △ABE ∽ △FHEなので、△ABE ∽ △FHE ∽ △DHG

辺の比面積比

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