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2009年度慶應義塾女子高等学校入試問題(過去問) 解答解説

慶應義塾女子高等学校数学過去問研究

2009年度慶応義塾女子高等学校数学入試問題は1.小問2問 2.関数 3.整数 4.平面図形の証明 5.立体図形と展開図 

例年通り大問5題構成。全問記述の解答形式でした。

今回は頻出の 2.関数 の問題を解説します。

問題

放物線 y=上に3点P,Q,Rがある。

点Pの
座標は正で、点Qの座標は点Pの座標より1大きい。

点Rはy軸に関して点Pと対称な点である。

さらに、点Sは四角形RPQSが平行四辺形になるような点とする。

点Pの座標をtとして、次の問に答えよ。

[1] t=2のとき、点Sの座標と直線RQの式を求めよ。

[2] 直線 y=3+29が平行四辺形RPQSを2等分するとき、tの値を求めよ。

[3] 点Tが、点Rから点Qまで線分RQ上を動くとき、三角形TRPが直角三角形になるような点Tをすべて求めて、その座標をtを用いた式で答えよ。
スペースONEプロ家庭教師の解答で、慶應義塾女子高等学校の発表ではありません。

[1]解説解答

[1] t=2のとき、点Sの座標と直線RQの式を求めよ。
解説
点Sの座標
点Rはy軸に関して点Pと対称な点なので

Pの座標が (2,22) より R(−2,4)である。

点Qの
座標は点Pの座標より1大きいので、点Qの座標は(2+1,32)

点Sは四角形RPQSが平行四辺形になるような点なので、

点Sの座標 −2+1=−1, 座標=点Qの座標より 9  

点Sの座標(−1,9)  

  
直線RQの式
点Rの座標 (−2,4),  点Qの座標 (3,9)直線

直線RQの傾き  9−4/3−(−2)=1 

切片=9−3=6  

よって 直線RQの式 y=x+6 

答 点S(−1,9)      直線 RQの式 +6
[2]解説解答
[2] 直線 y=3+29が平行四辺形RPQSを2等分するとき、の値を求めよ。
解説
平行四辺形を2等分する直線は、直線RQの中点を通るので、

点Rの座標(ー) 

点Qの
座標(+1) y座標(+1)+2+1 

直線RQの中点は

座標(−+1)÷2=  

y座標(+2+4)÷2=(2+2+1)/2  

この中点をy=3
+29が通ると良いので

(2+2+1)/2=3・1/2+29 
+2+1ー61=0 
ー30=0
−5)(+6)=0 

   t>1より    =5

答  5
[3]解説解答
[3] 点Tが、点Rから点Qまで線分RQ上を動くとき、三角形TRPが直角三角形になるような点Tをすべて求めて、その座標をを用いた式で答えよ。
解説
三角形TRPが直角三角形になるのは@ RQ⊥TP の場合と A RP⊥TPの場合
@ RQ⊥TP の場合

[2]より点Rの座標(ー

点Qの座標 {+1,(+1)}なので 

直線RQの式は y=


∠RTP=90°のとき RQ⊥TP

直線RQの傾きが 1 なので 直線TPの傾きは −1

よって 点Tは、点P(t,t2) を通り、傾きー1の直線と 直線RQとの交点になる。

点P(t,t2) を通り、傾きー1の直線の式は y=−
+bに(t,t2) を代入して解くと

y=−x+t2+t,と y=t との交点は T(0,t)

A RP⊥TPの場合
点Tの 座標=点Pの座標より 

このとき y座標は 直線RQ:y=t 上で
のときのy座標なので

y=t=+2



よって  T(+2

答   T(0,t),   T+2
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