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慶応義塾女子高校 過去問対策

慶應義塾女子高等学校数学過去問研究

2010年度慶応義塾女子高等学校数学入試問題は1.小問2問 2.関数 3.整数 4.平面図形の証明 5.立体図形と展開図 

例年通りの大問5題構成,出題内容,全問記述の解答形式でした。

昨年度よりやや易しく、解きやすく、標準レベルの出題でした。今回は5.立体図形と展開図を解説します。

                                   

慶応義塾女子高校2012年度 数学入試問題 2. 関数 問題


図1のような1辺の長さが3の立方体がある。

この立方体の頂点Aから辺CD,辺GH上の点を通り頂点Fを経由して,さらに辺BC,辺AD上の点を通って点Hまでひもをかける。

そのひもの長さが最も短くなる場合にひもが辺CD,辺BC,辺AD上で通る点をそれぞれI,J,Kとし、線分AIと線分JKの交点をLとする。

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次の問に答えよ。

(1)立方体の展開図に点Lの位置を図示せよ。

(2)線分AKの長さを求めよ。

(3)点Lから辺ABに垂線LMをひく。AM:MBを求めよ。

(4)線分BLの長さを求めよ。

(5)この立方体において、線分FLの長さを求めよ。
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[1] 解説解答

(1)立方体の展開図に点Lの位置を図示せよ。
解説
図のように点Aと点F’,点H’と点F”を直線で結ぶ。

その交点が点Lである。
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[3] 解説解答


(3)点Lから辺ABに垂線LMをひく。AM:MBを求めよ。 高校受験プロ家庭教師東京数学専門
解説
直線AF’と辺DCとの交点をNとする。

⊿F’EA∽⊿NDA より AD:AE=1:3

よって DNの長さは 3×1/3=1
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⊿AFL∽⊿NHL より AF:HN=3×2:3+1=6:4=3:2

よって AL:LN=3:2
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NからABに垂線をおろし、その交点をPとする。

⊿AML∽⊿APN より AM:MP=3:2

DN=AP=1なので、

AM=1×3/5=3/5

AM:MB=3/5:3-3/5=1:4
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答   1:4


(4)線分BLの長さを求めよ。
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解説
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⊿ADNは AD=3,DN=1の直角三角形なので、AN2=32+12  AN=√10

AL:LN=3:2 なので AL=√10×3/5=3√10/5

⊿AMLも⊿BLMも直角三角形で、ML=共通なので

BL2=(3√10/5)2ー(3/5)2+(12/5)2=9

BL=3
答   3

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