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慶応義塾女子高校 過去問対策

慶應義塾女子高等学校数学過去問研究

慶応義塾女子高等学校は 一般入試・帰国生入試とも同一問題です。

2016年度慶応義塾女子高等学校数学入試問題は1.独立小問2問 2.確率 3.平面図形 4.関数のグラフ 5.空間図形が出題され、例年通りの出題内容でした。また、例年通り証明問題はありませんでしたが、作図が出題されました。

今回は3.平面図形を解説します。


                                   

慶応義塾女子高校2016年度 数学入試問題 3. 平面図形 問題

∠A = 30°である△ABCの辺BCを直径とする円と、2つの辺AB,ACとの交点をそれぞれD,Eとおくとき、∠ADE = 80°である。円の中心をOとするとき、次の問いに答えなさい。

慶応義塾女子高校数学入試問題解答

[1] ∠ABCと∠EBCの大きさを求めなさい。

[2] ∠DOEの大きさを求めなさい。

[3] この円の半径をrとおくとき、線分DEの長さをrを用いて表しなさい。

[4] △ADEの面積をS,△ABCの面積をTとおくとき、S:Tを求めなさい。

[1] 解説解答

[1] ∠ABCと∠EBCの大きさを求めなさい。
∠ABC 解説解答
 円の性質
BとE,CとDを直線で結ぶ。∠DEA = 180 - (80 + 30) = 70°

∠CEB = 90°(直径の円周角)

なので、∠BED = 180 - (90 + 70) = 20°

∠BED = ∠BCD = 20°(弧DBの円周角)

△DBCにおいて、∠CDB = 90°(直径の円周角),∠BCD = 20°

したがって ∠DBC = ∠ABC = 180 - (90 + 20) = 70°


答   70°


∠EBC 解説解答
 円の性質
∠EBC = ∠ABC - ∠ABE

∠ABC = 70°

∠ABE = 180°- (∠EAB + ∠DEA + ∠BED) = 180°- (30°+ 70°+ 20°) = 60°

したがって

∠EBC = 70°- 60°= 10°

答   10°


[3] [4] 解説解答

[3] この円の半径をrとおくとき、線分DEの長さをrを用いて表しなさい。
解説
 三角比の問題
円の中心OからEDに垂線を引き、その交点をFとする。

∠DOE = 120°
なので、∠DOF = ∠EOF = 60°,OE = OD (半径),∠OEF = 180°- (∠EOF + ∠OFE) = 180°- ( 60°+ 90°)= 30°

∠ODF = 180°- (∠DOF + ∠OFD) = 180°- ( 60°+ 90°)= 30°


したがって 90°,30°,60°の三角形の辺の比より


三角形の辺の比


[4] △ADEの面積をS,△ABCの面積をTとおくとき、S:Tを求めなさい。
解説
 中学数学円の性質
△ADEと△ACBにおいて、

∠EAD = ∠BAC = 30°,

∠DEA = ∠CBA = 70°

二角相等なので、△ADE ∽ △ACB



∠ODF = 180°- (∠DOF + ∠OFD) = 180°- ( 60°+ 90°)= 30°


したがって 90°,30°,60°の三角形の辺の比より

辺の比面積比






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