國學院大學久我山高等学校過去問研究
國學院大學久我山高等学校の2013年度数学入試問題は 例年通り大問４題構成で、出題内容は１．小問集合10問 ２．整数の性質 ３．空間図形 ４．関数のグラフでした。
今回は ３．空間図形を解説します。補助線の引き方に工夫しましょう。
今回は ３．空間図形を解説します。補助線の引き方に工夫しましょう。
国学院大学久我山高校 過去問対策
國學院大學久我山高校数学入試問題解説解答
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国学院大学久我山高校2013年度数学入試問題3.空間図形 問題
(1) 体積を求めなさい。
(2) 表面積を求めなさい。
4) 5つの頂点すべてを通る球を考えるとき、この球の半径と表面積を求めなさい。
国学院久我山高校2013年度数学入試問題3.空間図形 (1)解説解答
(1) 体積を求めなさい。
解説
図のように正四角錐の各頂点をOABCD，底面の対角線の交点をHとする。
底面の対角線の長さは、直角二等辺三角形の辺の比
OHが正四角錐の高さとなるので、
三平方の定理より
正四角錐の体積は
答 192
国学院久我山高校2013年度数学入試問題3.空間図形(2)解説解答
解説
側面積は一辺10の二等辺三角形の面積×４
二等辺三角形の高さは 図の通り
三平方の定理より
国学院久我山高校2013年度数学入試問題3.空間図形 (3)解説解
解説
四面体の体積の公式四面体に置いて内接球の半径をr，表面積をS，体積をVとおくと
答 a ・・・41， b・・・24
別解１内接球の中心を頂点とし、△OAB，△OBC，△OCD，△ODA，□ABCDを底面とする角錐に分割すると、、5つの立体は全て高さがr，底面積が二等辺三角形の合同な角錐４つと四角錐1つになる。
別解2
内接球の中心をＦ，四角錐の高さＯＨ上にある内接球の中心をＥ，底面の一辺の中心をＭ，直線ＯＭ上にある内接球との交点をＦとおく。
∠ＯＦＥ＝９０°なので △ＯＦＥ∽△ＯＨＭ
よって ＦＥ：ＥＯ＝ＨＭ：ＭＯ
ＦＥ＝ＥＲ＝ｒなので
これを解いて
国学院久我山高校2013年度数学入試問題3.空間図形 (4)解説解
(4) 5つの頂点すべてを通る球を考えるとき、この球の半径と表面積を求めなさい。
解説
図のＥを外接円の中心とし、外接円の半径をＲとする。
ＯＥ＝ＥＣ＝Ｒ
ＯＨ＝ＯＥ＋ＥＨ＝８ よって ＥＨ＝８－Ｒ
ＨＣ＝６，
△ＥＨＣにおいて，三平方の定理より
球の表面積を求める公式 球の表面積 = 4πr2 より
