東京都立国立高等学校独自作成問題傾向と対策
2009年度東京都立国立高等学校独自数学入試問題は 1.小問集合 2.平面図形 3.関数のグラフ 4.展開図と立体図形 4問構成でした。
今回は4.展開図と立体図形を解説します。問1.2は解答のみ 問3は途中の式や計算を書く設問形式でした。問1.2は基本レベルです。教科書準拠問題集で一度は解いたことのある問題でしょう。
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2009年度東京都立国立高等学校独自数学入試問題は 1.小問集合 2.平面図形 3.関数のグラフ 4.展開図と立体図形 4問構成でした。
今回は4.展開図と立体図形を解説します。問1.2は解答のみ 問3は途中の式や計算を書く設問形式でした。問1.2は基本レベルです。教科書準拠問題集で一度は解いたことのある問題でしょう。
図2の円すいの体積は何cm3か。 |
解説 |
円すいの底面の半径は 半径/母線=中心角/360° より18×60÷360=3cm また頂点Oから底面に垂線を下ろす。 高さ(h)は三平方の定理より h2=182ー32 h=3√35 円すいの体積 32π・3√35・1/3=9√35 |
右の図3は,図2において,母線OB上にBD=6cmである点Dをとり、点Aから点Dを通り側面上を1周して点Aにもどる最短の線を引いた場合を表している。 円すいの側面積上において、最短の線と底面の円周とで囲まれた部分の面積は何c㎡か。 |
解説 |
点ACを直線でむすぶ。 三角形OACにおいて辺AO=辺CO=18cm,∠AOC=60° よって三角形AOCは正三角形。 半径18cm、中心角60°の扇形の面積から底辺12cm高さ9cmの三角形の面積×2を除いた部分が求める面積。 182π・60/360ー12×9=54πー108 |
右の図4は図2において、母線OA上にAM=9cmである点Mをとり、点Aから円錐の側面上を2周して点Mにいたる最短の線を引き、最短の線が側面上を1周したときに、母線OAと交わる点をNとした場合を表している。 このとき、母線OA上における線分ANの長さは何cmか。 ただし、解答欄には、答だけではなく、答を求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書きなさい。 |
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解説 | |
点Aから円すいの側面上を2周して点Mにいたる最短の線は側面の展開図を2枚あわせた左図の通り ∠ONM=∠A'NA・・・ 対頂角 ∠MON=∠ANA'=60° よって △ONM∽△A'NA 辺の比は9:18=1:2 求めるA'Nの長さは辺OA'=18cmの2/3 18×2/3=12 |
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答 12cm |