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都立国立高校 過去問対策

東京都立国立高等学校過去問研究

2012年度東京都立国立高等学校独自数学入試問題は 1.小問集合5問 2.一次・二次関数のグラフ 3.円の性質 4.立体図形上の点移動。 大問4題構成は例年通りでした。大問の立体図形が昨年度は出題されていませんでしたが、2012年度例年通りの出題構成にもとりました。

2012年度の学力検査入試の結果は 募集男子133名 女子120名に対し 応募者数男子 263名 女子211名 合格者数 男子141名 女子126名でした。

今回は4.立体図形(直方体)上の点移動を解説します。

 


                                   

都立国立高校2012年度 数学入試問題 4. 立体図形 問題

都立国立高校入試問題

問1 解説解答

図1において、点Pが頂点Eを出発してから8秒後の線分APの長さは何cmか。
解説
 高校合格プロ家庭教師東京
Pは秒速1cmなので 出発して8秒後のPの位置をP’とすると FP’=2cm

線分FP’の長さは 三平方の定理より

(EP’)2=EF2+FP’2=62+22=40

線分AP’の長さは 三平方の定理より

(AP’)2=AE2+(EP’)2=62+40

AP’=2√19


答   2√19 


問3 解説解答


(2) 6≦t≦10 のとき、点Pと点Qを結んでできる三角すいA-EPQの体積が40cm3になるようなtの値は2つある。その2つの値を求めなさい。
1回目  解説
都立国立高校数学プロ家庭教師東京
三角すいAーEPQの高さは6cmなので、 体積が40cm3になるときの底面積EPQは
△EPQ×6×1/3=40   △EPQ=40×3÷6=20(c㎡)
1回目
6≦t≦7 のとき
P,Qともに辺FG上にある。
△EPQ=EF×PQ間の長さ×1/2=20   EP間の長さ=20/3
t=6のとき PQ間の長さは6cmなので
(20/3ー6)÷(2-1)=2/3
よって  P,Qが同時にEを出発して6秒後からさらに2/3秒後  

6+2/3=20/3     
 1回目   t=20/3

2回目
7≦t≦10 のとき
Pは辺FG上に、Qは辺GH上ある。
PQが同時にEを出発して7秒後から進むPの長さをt’, Qの長さを2t’とすると
△EPQの面積が20c㎡になるときは 図の通り
長方形EFGH-△EFP-△PGQ-△QHE より
8×6-(1+t’)×6÷2-(7-t’)×2t’÷2-(6-2t’)×8÷2=20
これを解いて  (t’-1)2=0  t’=1
よって  2回目 7+1=8秒後
    20/3, 8






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