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ラ・サール高等学校2016年度 数学入試問題

ラ・サール高等学校数学過去問研究

2012年度ラ・サール高等学校数学入試問題は例年通りの出題構成で1.計算問題 2.小問集合 3.~6.大問でした。出題内容は 1.計算問題4問  2.小問集合4問  3.方程式の応用 4.関数とグラフ 5.平面図形 6.立体図形の回転でした。

今回は 2小問集合を解説します。短時間で確実にとり、大問へ時間配分できるようにしましょう。

ラ・サール高校2016年度 数学入試問題 4.平面図形 問題

次の各問に答えよ。

(1) 図のように、一辺の長さ2の正方形と半径2,中心角90°の扇形が重なっている。斜線部の面積を求めよ。プロ家庭教師ラサール高校数学

(2) 図のように、円に内接するAD//BCの台形ABCDがある。x,yの値を求めよ。ラサール高校数学プロ家庭教師東京

(3) 大中小3つのさいころをふり、出た目をそれぞれa,b,cとする。このとき、811a+730b+641cが9の倍数となる確率を求めよ。

(4) 1/7を小数で表したとき、小数第1位から小数第n位までの各桁の数の和をS(n)とする。   

  ⅰ  S(7)を求めよ。     ⅱ  S(2012)を求めよ。

 

解説解答

(1) 右図のように、一辺の長さ2の正方形と半径2,中心角90°の扇形が重なっている。斜線部の面積を求めよ。
 プロ家庭教師ラサール高校専門  
解説
 図の通り 斜線部の面積は中心角30°の扇形から△CDBと△EDBの面積を除いた部分。  
 プロ家庭教師ラサール高校  
辺CDの長さは △ABCの内角が30°,60°の直角三角形なので AB=√3

よって 辺CDの長さは √3ー1

△CDB≡△EDBなので

求める面積は

2×2×π×30/360ー(√3ー1)×1÷2×2=π/3ー√3+1

                        
答   π/3ー√3+1

ラサール高校数学入試問題 (2) 平面図形解説解答

(2) 図のように、円に内接するAD//BCの台形ABCDがある。x,yの値を求めよ。
 ラサール高校数学プロ家庭教師東京
解説
AD//BC より ∠DAC=∠ACB=y°(平行線の錯角)
 ラサール高校数学入試問題
円に内接する四角形の向かい合う角同士の和は180°になるので 

∠DAB+∠BCD=180°

y+50+y+32=180
  y=49°
また 三角形の内角の和は180°なので  50++y=180   

=180-50-49=81

答   =81°  , y=49°

ラサール高校数学入試問題 (3) 確率 解説解答  (4) 数の性質

(3) 大中小3つのさいころをふり、出た目をそれぞれa,b,cとする。このとき、811a+730b+641c が9の倍数となる確率を求めよ。
解説

各位の数字の和が 9の倍数であるとき9の倍数となる。さらに和が 9の倍数 となる組み合わせがあれば、その組み合わせを消し、全ての 桁 が消えれば、9の倍数になるので。


811÷9=90・・・1  ,730÷9=81・・・1    ,641÷9=71・・・2  より
811a+730b+641c=9(90a+81b+71c)+a+b+2c
a+b+2cが9の倍数となる確率を求める。
cが1のとき  b+aが7となる場合 6通り
cが2のとき  b+aが5となる場合 4通り
cが3のとき  b+aが3となる場合 2通り , b+aが12となる場合 1通り
cが4のとき  b+aが1となる場合 0通り , b+aが10となる場合  3通り
cが5のとき  b+aが8となる場合 5通り
cが6のとき  b+aが6となる場合 5通り    計 6+4+2+1+3+5+5=26

811a+730b+641c が9の倍数となる確率は  26÷(6×6×6)=13/108

答    13/108


(4) 1/7を小数で表したとき、小数第1位から小数第n位までの各桁の数の和をS(n)とする。
     ⅰ  S(7)を求めよ。
     ⅱ  S(2012)を求めよ。
ⅰ  S(7)を求めよ。解説
1÷7=0.14285714・・・
S(7)=(1+4+2+8+5+7)+1=27+1=28
ⅱ  S(2012)を求めよ。解説
小数第1位から小数第2012位までに(1+4+2+8+5+7)は 2012÷6=335・・・2より 335回繰り返されるので
S(2012)=(1+4+2+8+5+7)×335+1+4=27×335+5=9050

答   ⅰ 28 , ⅱ 9050
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