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明治大学付属明治高等学校入試問題解答解説

明治大学付属明治高等学校過去問研究

2009年度明治大学付属明治高等学校数学入試問題は 1.小問集合5問 2.代数(ガウス記号) 3.円の性質 4.関数 5.立体図形

例年通り5題構成でした。


今回は 明治大学付属明治高等学校数学頻出の 3.円の性質 を解説します。

問題

図のようにBCを直径とする円Oの円周上に点Aをとる。

∠BACの二等分線とBCとの交点をE, 円Oとの交点をDとする。

AB=8,BC=10,CA=6のとき、次の各問いに答えなさい。

(1)CDの長さを求めなさい。

(2)CEの長さを求めなさい。

(3)AEの長さを求めなさい。
t

スペースONEプロ家庭教師の解答で、明治大学付属明治高等学校の発表ではありません。



(1)解説解答

CDの長さを求めなさい。
解説
点Bと点Dを直線で結ぶ。

弧BDの円周角∠BADと弧DCの円周角∠DACは等しいので弧BD=弧DC 線分BD=線分DC 

また 線分BCは円の中心を通るので ∠BDC=∠R 

よって 傳DCは直角二等辺三角形 各辺の比は1:1:√2  

線分CD=10/√2=5√2  

別解 

線分BCは中心を通るので∠BAC=∠R 

∠BAC=∠DACなので ∠BAD=45°

また∠BADと∠DACは∠BADと∠BCDは弧BDの円周角なので∠BAD=∠BCD=45°

∠BDC=∠R 

よって傳DCは直角二等辺三角形 各辺の比は1:1:√2  

線分CD=10/√2=5√2  

答   5√2
(2)解説解答
CEの長さを求めなさい。
解説
Eは∠BACの二等分線とBCとの交点なので BA:CA=BE:CE 

BA:CA=8:6=4:3 

よってCE=10・3/7=30/7
答   30/7
(3)解説解答
AEの長さを求めなさい。
解説
△ABEと△CDEにおいて∠BAE=∠CDE ∠AEB=∠CED・・・対頂角 

よって二角が等しいので△ABEと△CDEは相似形 

辺の比は8:5√2  

8:5√2=AE:30/7  AE=24√2/7
答   24√2/7
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