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2009年度桜美林高等学校入試問題(過去問) 解答解説

桜美林高等学校数学過去問研究

2009年度桜美林高等学校数学入試問題は1.小問集合10題  2.座標とグラフ  3.円の性質  4. 数列の大問4問構成でした。


問題

 
図のように,半径3 の円に正三角形ABCが内接している。点P は∠A に対する弧BC上を点B から点C まで動く。 いま,BP = PQ となるようにAP の延長上に点Qをとるとき,次の問いに答えなさい。


(1) 辺BC の長さを求めなさい。


(2) ∠ BQP の大きさを求めなさい。


(3) 点P がBからCまで動くあいだに,点Q  が動いた道のりを求めなさい。
t

スペースONEプロ家庭教師の解答で、桜美林高等学校の発表ではありません。



(1)解説解答

辺BC の長さを求めなさい。
解説
右図のように円の中心Oと点A,B,Cを結ぶ。Oから辺BCに垂線を下ろし交点をDとする。

∠BOC=∠AOB=∠AOC=360÷3=120°∠BOD=120÷2=60° 

よって三角形BODはそれぞれの角度を30°,60°90°とする直角三角形。

辺BD : 辺BO=√3:2 辺BDの長さは3√3/2  

辺BCの長さは3√3   
解答   3√3
(2)解説解答
∠ BQP の大きさを求めなさい。
解説
∠ACBは正三角形の1つの内角なので、∠60°

∠ACBと∠APBはともに弧ABの円周角 よって∠ACB=∠APB=∠60°


また三角形BPQは辺BP=辺PQの二等辺三角形 よって∠PBQ=∠BQP 


∠BQP=60÷2=30  
解答  30°



(3)解説解答
点P がBからCまで動くあいだに,点Q  が動いた道のりを求めなさい。



解説
右図の通り。

点Qが動く道のりのつくる放物線は


辺BCを半径とする中心角60°の扇形の円周×2


3√3・2π・60/360・2=2√3π
解答  2√3π

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