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2011年度桜美林高等学校数学入試問題(過去問) 解答解説

桜美林高等学校数学過去問研究

2011年度桜美林高等学校数学入試問題は例年通りの大問4問構成で、出題内容は1.小問集合9題  2.一次関数と二次関数のグラフ  3.速さの方程式とグラフ  4. 円の性質でした。

今回は4.円の性質を解説します。円の性質は桜美林高校数学入試の頻出問題です。基本的な円の性質を確認しましょう。

問題

t

スペースONEプロ家庭教師の解答で、桜美林高等学校の発表ではありません。



(1)解説解答

(1) ∠BOCの大きさを求めなさい。

解説
中心角の大きさは弧の長さに比例するので
弧AB:弧BC:弧CA=7:8:9 より
∠BOC=360÷(7 + 8 + 9)×8 = 120

 120°     
 
(2)(ア)解説解答
(2) 線分AOの延長線に2点B,Cから下ろした垂線の足をそれぞれH,I とする。また,AOの延長線と線分BCの交点をDとする。このとき,
(ア) ∠DBHの大きさを求めなさい。
解説
△BOCは BO=CO(半径)の二等辺三角形。
∠BOC=120°なので ∠OBC=∠OCB=(180 - 120)÷2 = 30°
∠AOB=360÷24×7 = 105°
∠BOH=180 - 105 = 75°
∠OBH = 90 - 75 = 15
よって  ∠DBH = 30 - 15 = 15°

答    15°

(2)(イ)解説解答

(イ) 線分BDの長さを求めなさい。また,△OBDの面積を求めなさい。
線分BDの長さ 解説
△OBHと△DBHにおいて  ∠OBH=∠DBH=15°,∠OHB=∠DHB=90°, BH=BH(共通)なので △OBH≡△DBH
よって OB=1(半径)  なので OB=DB=1

△OBDの面積 解説
図の通り  点Dから辺BOに垂線をおろしその交点をJとする。 △JBDは ∠JBD=30°,∠BJD=90° よって ∠JDB=60°
三平方の定理より BD : DJ の辺の比は 2:1 なので  BD : DJ =2:1=1:χ   χ=1/2
△OBDは底辺BO=1  高さ JD=1/2 の三角形なので 面積は 1×1/2÷2=1/4

  
答    BD=1,   △OBD=1/4

(2)(ウ)解説解答

(ウ) OH=x ,BH=y とするとき, xy および x+y の値を求めなさい。
xy  解説
xy = OH×BH=OD×BH÷2
OD×BH÷2=△OBD×2
よって  OD×BH÷2=△OBD×2÷2=△OBD
(イ)より  △OBD=1/4 なので   xy=1/4

x+y  解説
(x+y )2=χ2+y2+2χy 
ここで  三平方の定理より  χ2+y2=BH2=1,  また  xy=1/4
よって (x+y )2=1+2・1/2=3/2
x+y>0  より x+y=√6/2

答    √6/2
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