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渋谷教育学園幕張高校 過去問対策

渋谷教育学園幕張高等学校過去問研究

渋谷教育学園幕張高等学校2013年度前期選抜試験は1月20日に実施され、応募者数 男子492名 女子222名,受験者数 男子491名 女子221名 合格者数 男子247名 女子92名でした。

前期選抜試験の数学は例年通り大問5題構成で、1.小問集合(確率・資料整理) 2.数の性質 3.二次関数のグラフ 4.平面図形 5.立体図形が出題され標準以上の出題内容でした。

合格最高点 100点,受験者平均点51.3点, 合格者平均点59.7点でした。


今回は2.数の性質を解説します。


                                   

渋谷教育学園幕張高校2017年度 数学入試問題 4. 関数のグラフ 問題

正の整数χに大してχ、1からχまでの整数のうち、χとの最大公約数が1であるものの個数をf(χ)とおく。例えばf(5)について考えると、1から5までの整数のうち、5との最大公約数が1となるのは、1,2,3,4の4つであるから f(5) = 4 となる。

また、f(6) について考えると、1から6までの整数のうち、6との最大公約数が1となるのは、1,5の2つであるから f(6) = 2となる。

次の各問いに答えなさい。

(1) ff(15), ff(16), ff(17)をそれぞれ求めなさい。

(2) p,qを互いに異なる素数とするとき、

  ① f(p)をpを用いて表しなさい。

  ② f(pq)をp,qを用いて表しなさい。

  ③ f(pq)をf(p),f(q)を用いて表しなさい。ただし、その途中の過程も記述すること。

(1) 解説解答

(1) f(15), f(16), f(17)をそれぞれ求めなさい。

f(15)解説解答

15の約数は 1×15,3×5 より 1,3,5,151から14までの整数のうち 
3の倍数の個数 14÷3=4個 (3,6,9,12)と  
5の倍数の個数 14÷5 = 2個 
(5,10)を除く整数は 1,2,4,7,8,11,13,14の8個よって 

f(15) = 8・・・答

f(16)解説解答

16 = 24   よって 1から15までの整数のうち 2の倍数の個数 5÷2=7個

 (2,4,6,8,10,12,14)でないもの=奇数の個数は 1,3,5,7,9,11,13,15の8個

よって f(16) = 8・・・答


f
(17)解説解答

17は素数なので、17を除いた整数の個数なので、個数は 17-1 = 16

よって f(17) = 16・・・答





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