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2008年度東邦大学付属東邦高等学校入試問題(過去問) 解答解説

東邦大学付属東邦高等学校過去問研究

東邦大学付属東邦高等学校の2008年度数学入試問題は小問集合(6題)を含む大問6題構成でした。

全般的に平面図形の比重が増し立体図形が1題もありませんでした。

また、2008年度では証明問題も出されています。平面図形では相似条件・円の性質などを繰り返し練習しましょう

問題

図のように、点0を中心とする半径5cmの演習場に4点A,B,C,Dがあり、AB=BC=CD=8cmです。


直線OCと線分BDの交点をEとします。


点0から線分BCに垂線を引き、線分BCとの交点をFとします。


次の各問に答えなさい。

(1)△BCEと△OCFは相似であることを証明しなさい。

(2)線分BDの長さを求めなさい。

(3)線分ADの長さを求めなさい。
t


(1) 解説解答

スペースONEプロ家庭教師の解答で、東邦大学付属東邦高等学校の発表ではありません。

△BCEと△OCFは相似であることを証明しなさい。
解説

対応する2組の角がそれぞれ等しいことを利用して証明します。 

∠ECBと∠OCFは共通ですから、角度を等しくするもう一組を見つけて証明します。

(証明)

△BCDにおいて、 BC=CDより、∠EBC=∠EDC・・・@ 

 

また △OBCはOB=OC(円Oの半径)の二等辺三角形で、OFは頂点Oから底辺BCにひいた垂線であるので、∠BOF=∠COF 

よって ∠BOC=2∠COF・・・B 

A Bより ∠EOC=∠COF・・・C 

@ Cより ∠EBC=∠FOC・・・D  

△BCEと△OCFにおいて ∠BCE=∠OCF(共通) 

これとDより対応する2組の角がそれぞれ等しいので  △BCE∽△OCF

(2)解説解答
線分BDの長さを求めなさい。
解説
(1)より△BCE∽△OCF 対応する辺は BC:OC,CE:FC,EB:OF 

△OCFにおいて、OC = 5cm(半径) CF = 4cm 三平方の定理より OF = 3cm 

このとき BC:OC = 8:5 よって EB:OF = 8:5 

OF = 3cmなので 


(3)解説解答

線分ADの長さを求めなさい。
解説
Dから辺BCに垂線を引き辺BCとの交点をHとする。△DBH∽△COF 

 

BH:CFにおいても相似比は48:25 

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