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都立西高校 過去問対策

東京都立西高等学校過去問研究


独自数学入試問題

2012年度都立西高校第1次募集の実質倍率は男子2.12倍,女子1.47倍。数学の受験者平均点は59.2点でした。

数学入試問題の出題形式は例年通りの大問4題構成で 出題内容は、1.小問集合(作図問題1を含む) 2.関数のグラフ 3.円の性質(正面問題を含む) 4.方程式の応用(グラフ作図を含む)でした。

今回は 3.円の性質(証明問題)を解説します。

 


                                   

都立日比谷高校2012年度 数学入試問題 3. 関数のグラフ 問題

都立西高校数学入試問題

問1 解説解答


図2は、図1において、線分PQが直径である場合を表している。

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∠QPM=17°であるとき、∠BQPの大きさは何度か。

解説

△PBQにおいて、∠PBQ=90°(直径PQの円周角)

弧QM=1/3弧QBなので ∠QPB=17°×3=51°

よって ∠BQP=90ー51=39

問3 解説解答


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解説
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∠PSTが △PNSにおいて∠PSNの補角, ∠QTSが △QNTにおいて∠QMTの補角であることに着目し、

∠SPN+∠PNS=∠PST=∠QTS=∠TQM+∠QMTであることを利用して証明しましょう。


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弧PN:弧AN=1:2(仮定)より ∠PMN:∠NPS=1:2  

   ∠PMN=∠aとおくと ∠NPS=2∠a

弧MQ:弧BM=1:2(仮定)より ∠QNM:∠MQB=1:2  

   ∠QNM=∠bとおくと ∠MQB=2∠b

また 弧PQの円周角なので ∠QNP=∠PMQ=∠c とおく。

∠PST=∠NPS+∠QNP+∠QNM=2∠a+∠c+∠b

∠QTS=∠MQB+∠PMQ+∠PMN=2∠b+∠c+∠a

∠PST=∠QTS(仮定)なので 

2∠a+∠c+∠b=2∠b+∠c+∠a

  ∠a=∠b

よって ∠PMN=∠QNM  ・・・①

また ∠PNM=∠QNP+∠QNM=∠c+∠b

∠QMN=∠PMQ+∠PMN=∠c+∠a=∠c+∠b

したがって  ∠PNM=∠QMN ・・・②


さらに  △PMNと△QNMにおいて   MN=NM(共通) ・・・③

① ② ③ より 一辺と両端の角がそれぞれ等しいので   △PMN≡△QNM

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