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東京都立進学指導重点高校 過去問対策

東京都立進学指導重点校数学過去問研究

2014年度から都立日比谷,西,戸山,八王子東,青山,国立,立川が進学指導重点校として、共通の問題を出題するようになりました。そして、[1」~[4]の小問集合・大問についてそれぞれ問題を選択指定し、出題されました。

今回は[3]の平面図形問題の中から都立日比谷高校・都立西高校・都立八王子東高校・都立立川高校・都立国立高校選択指定のA問題を解説します。


                                   

東京都立進学指導重点高校2014年度 数学入試A問題 3. 平面図形 (証明問題) 問題

都立日比谷高校数学入試問題

問1 解説解答

図1において、点Bと点O,Oと点Qをそれぞれ結んだ場合を考える。AR = QR,∠ARQ = 40°,∠BOQ = 120°のとき、点Aを含まない弧BPの長さと、点Aを含まない弧BQの長さの比を最も簡単な整数の比で表せ。

解説
都立八王子東高校数学入試問題

弧の長さの比は弧の中心角=円周角の大きさの比に比例するので、弧BPと弧BQの円周角の大きさをそれぞれ求めるとよい。

弧BQの円周角∠QAB = ∠BOQ÷2 = 120÷2 = 60°

△ARQは AR = QRの二等辺三角形なので ∠RAQ = ∠RQA = (180 - 40)÷2 = 70°

弧BPの円周角∠BAP = ∠BQP = 180 - (∠RAQ + ∠QAB) = 180 - (70 + 60) = 50°

したがって ∠BAP:∠QAB = 50°:60°  

よって 弧BP:弧BQ = 5:6


答   5:6

問2 ② 解説解答


(2) 線分ABが円Oの直径になる場合を考える。AB = 3cm,AQ = 1cmのとき、線分PRの長さは何cmか。

解説

東京都立進学指導重点校数学過去問

∠AQBは直径の円周角なので 90°

よって 三平方の定理より都立西高校数学入試問題


△PRQは QR = PQの二等辺三角形なので、、頂点Qから辺PRに垂線をおろし、その交点をMとする。

二等辺三角形の性質より RM = PM

また △MQPと△QABにおいて、∠PMQ = ∠BQA = 90°,弧AQの円周角なので、∠QPM = ∠ABQ

二角相等より、△MQP∽△QAB

よって QP:PM = AB:BQ  したがって、

都立立川高校数学入試問題




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