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都立戸山高校 過去問対策

東京都立戸山高等学校数学過去問研究

戸山高校の一般入試では7:3の比率に換算された学力検査の換算点と調査書の換算点の合計点による総合成績の上位者から順に合格候補者を決定します。

2012年度東京都立戸山高校自校作成数学入試問題は 例年通りの問題構成で 1.小問集合 2.~4 大問(枝問各3)でした。

出題内容は 1.小問5問(含作図問題) 2.一次関数と二次関数のグラフ  3.平面図形(平行四辺形)の証明と分割 4.立体図形上の点移動と転回図形 でした。


今回は 3.平面図形(平行四辺形)の証明と分割を解説します。

 


                                   

都立戸山高校2012年度 数学入試問題 3. 関数のグラフ 問題

都立戸山高校数学入試問題

問1 解説解答


四角形PQRSが平行四辺形であることを証明せよ。

解説

平行四辺形になる条件には 次の5つがあります。
1 2組の向かいあう辺が、それぞれ平行である。
2.
 2組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。
 2組の向かいあう角が、それぞれ等しい。
 対角線が、それぞれの中点で交わる。
 1組の向かいあう辺が、等しくて平行である。

証明
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平行四辺形AFCHにおいて 

AD=BC, 

仮定より AH=3/5AD, FC=3/5BC よって AH=FC ・・・①

また AD//BC  なので  AH//FC ・・・ ②

① ②より1組の向かい合う辺が等しくて平行なので 四角形AFCHは 平行四辺形である。 

よって   PQ//SR  ・・・③


同様に    四角形EBGDにおいて AB//CD,  EB=3/5AB=DG=3/5DC

よてって 1組の向かい合う辺が等しく平行であるので、四角形EBGDは平行四辺形である。

よって  PS//QR  ・・・④

四角形 PQRSにおいて  ③ ④より 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行であるので 四角形PQRSは平行四辺形である。

問3 解説解答


四角形ABCDがひし形となる場合を考える。  AB=10cm, ∠ABC=60°のとき, 線分BGの長さは何cmか。

解説

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仮定より AB=BC=CD=DA=10cm

よって  CG=10×2/5=4

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点Gから線分BCの延長上に垂線をひき、その交点をG'とする。

AB//GCなので  ∠ABC=∠GCG' (同位角)

⊿GCG'は∠GCG'=∠60°の直角三角形なので 各辺の比 GC:CG':GG'=2:1:√3  より

GC=4cm, CG'=2cm, GG'=2√3

⊿BGG'において 三平方の定理より

BG2=BG2+GG'2=(10+2)2+(2√3)2=156

BG=2√39

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