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筑波大学付属高校 過去問対策

筑波大学付属高等学校過去問研究

2014年度筑波大学付属高等学校数学入試問題は 例年通り大問4題構成。1.小問集合7問 2.平面図形(台形) 3.平面図形(円の性質) 4.空間図形 で、図形を中心とした出題構成も例年通りでした。

今回は 筑波大学付属高校入試頻出の 3.平面図形 を解説します。
補助線をどう引くかを工夫して、相似比を用いて解いていきましょう。



                                   

筑波大学付属高校2014年度 数学入試問題 3. 平面図形 (証明問題) 問題

筑波大学付属高校数学入試問題


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(1) 線分ADの長さは⑩cmである。

(2) 弦ACの長さは⑪cmである。

(3) 2直線EO,ADの交点をFとするとき、線分EFの長さは、⑫cmである。

(1) 解説解答

(1) 線分ADの長さは⑩cmである。
解説
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点A,O, 点B,Oを直線で結ぶ。

円の中心OからABに垂線をおろす。二等辺三角形の頂点の二等分線は底辺を垂直に二等分するので ∠AOM = ∠BOM

∠AOB = 2∠ADB  (弧ABの中心角と円周角)なので ∠AOM = ∠BOM = ∠ADE

よって △AOMと△ADEにおいて、∠AOM = ∠ADE,∠AMO = ∠AED = 90° 二角相等なので ∠AOM ∽ ∠ADE

三平方の定理より

中学数学三平方の定理

相似比より

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(3) 解説解答

(3) 2直線EO,ADの交点をFとするとき、線分EFの長さは、⑫cmである。
解説
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EDを延長し、円Oの円周との交点をそれぞれG,Hとおく。

△BGEと△HDEにおいて、∠EBG = ∠EHD(弧GDの円周角),∠BEG = ∠HED(対頂角)二角相等なので 

△BGE∽△HDE

GE:EB = EB = DE:EH より


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円の中心OからBDに垂線を下ろし、その交点をNとする。
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BN = ND なので

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FからBDに垂線を下ろしその交点をPとおく。

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相似比
また △DFP ∽ △DAE より

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