2015年度栃木県立高校入試問題(過去問) 解答解説

栃木県立高等学校数学過去問研究

今回は　栃木県立高校数学入試問題4の平面図形問題2題を解説します。Ⅰは円の性質を用いた証明問題，2は三平方の性質を用いた基本的な問題です。

スペースＯＮＥプロ家庭教師の解答で、沖縄県の発表ではありません。

△ACD∽△ABEであることを証明しなさい。
解説
三角形の相似条件は　①３組の辺の比がすべて等しい。　②２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。　③２組の角がそれぞれ等しい。のいずれかです。円の性質を用いた相似形の証明の場合　③の２角相等で証明する問題が一般的です。
証明
△ACDと△ABEにおいて、半円の弧に対する円周角なので、∠CDA = 90°,・・・① 仮定より　∠BEA = 90°・・・② ①,②より　∠CDA = ∠BEA　・・・③ 弧ADの円周角なので∠ACD = ∠ABE ・・・④ ③,④　より２角相等なので△ACD∽△ABE

(2)　∠BAC = a°とするとき、∠BDEの大きさをaを用いて表しなさい。
解説
∠EDA=∠BDA + ∠EDB ∠BDA = 90°なので　∠EDA = 90°+ ∠EDB 外角の性質より　∠EDA = 90°+ ∠EDB = ∠CED + ∠DCE ∠CED = 90°なので　∠EDA = 90°+ ∠EDB = 90°+ ∠DCE したがって　∠EDB = ∠DCE 二等辺三角形の底角の性質より