慶応義塾女子高校 過去問傾向と対策
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慶応義塾女子高校2012年度 数学入試問題 5. 立体図形と展開図 問題
| ５．図１のような１辺の長さが３の立方体がある。 この立方体の頂点Ａから辺ＣＤ，辺ＧＨ上の点を通り頂点Ｆを経由して，さらに辺ＢＣ，辺ＡＤ上の点を通って点Ｈまでひもをかける。 そのひもの長さが最も短くなる場合にひもが辺ＣＤ，辺ＢＣ，辺ＡＤ上で通る点をそれぞれＩ，Ｊ，Ｋとし、線分ＡＩと線分ＪＫの交点をＬとする。 |
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次の問に答えよ。 （１）立方体の展開図に点Ｌの位置を図示せよ。 （２）線分ＡＫの長さを求めよ。 （３）点Ｌから辺ＡＢに垂線ＬＭをひく。ＡＭ：ＭＢを求めよ。 （４）線分ＢＬの長さを求めよ。 （５）この立方体において、線分ＦＬの長さを求めよ。 |
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慶応義塾女子高校2013年度 数学入試問題 4. 立体図形 [1] 解説解答
| （１）立方体の展開図に点Ｌの位置を図示せよ。 |
| 解説 |
| 図のように点Ａと点Ｆ’，点Ｈ’と点Ｆ”を直線で結ぶ。 その交点が点Ｌである。 |
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答  |
慶応義塾女子高校2013年度 数学入試問題 4. 立体図形 [2] 解説解答
| （２）線分ＡＫの長さを求めよ。 |
| 解説 |
| 点Ｋの位置は図の通り。 |
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| ⊿FAKと⊿FEHは ∠AFD＝∠EFH（共通），∠FAK＝∠FEH＝９０° より ⊿FAK∽⊿FEH FA：FE＝２：３なので、AK：EH＝２：３ １辺の長さが３なので、 AK＝３×2/3＝２ |
| 答 ２ |
慶応義塾女子高校2013年度 数学入試問題 4. 立体図形 [3] 解説解答
| （３）点Ｌから辺ＡＢに垂線ＬＭをひく。ＡＭ：ＭＢを求めよ。 |  |
| 解説 | |
| 直線ＡＦ’と辺ＤＣとの交点をＮとする。 ⊿F’ＥA∽⊿ＮＤＡ より ＡＤ：ＡＥ＝１：３ よって ＤＮの長さは ３×1/3＝１ |
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| ⊿AＦＬ∽⊿ＮＨＬ より ＡＦ：ＨＮ＝３×２：３＋１＝６：４＝３：２ よって ＡＬ：ＬＮ＝３：２ |
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| ＮからＡＢに垂線をおろし、その交点をＰとする。 ⊿AＭＬ∽⊿ＡＰＮ より ＡＭ：ＭＰ＝３：２ ＤＮ＝ＡＰ＝１なので、 ＡＭ＝１×3/5＝3/5 AM：MB＝3/5：３－3/5＝１：４ |
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| 答 １：４ |
| （４）線分ＢＬの長さを求めよ。 |
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| 解説 |
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| ⊿ＡＤＮは ＡＤ＝３，ＤＮ＝１の直角三角形なので、ＡＮ2＝３2＋１2 ＡＮ＝√10 ＡＬ：ＬＮ＝３：２ なので ＡＬ＝√10×3/5＝３√10/５ ⊿ＡＭＬも⊿ＢＬＭも直角三角形で、ＭＬ＝共通なので ＢＬ2＝（３√10/５）2ー（3/5）2＋（12/5）2＝９ ＢＬ＝３ |
| 答 ３ |
