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2012年度東京都立国立高等学校独自数学入試問題は 1．小問集合5問 2．一次・二次関数のグラフ ３．円の性質 ４．立体図形上の点移動。 大問４題構成は例年通りでした。大問の立体図形が昨年度は出題されていませんでしたが、2012年度例年通りの出題構成にもとりました。
2012年度の学力検査入試の結果は 募集男子133名 女子120名に対し 応募者数男子 263名 女子211名 合格者数 男子141名 女子126名でした。
今回は４．立体図形（直方体）上の点移動を解説します。
| 図１において、点Ｐが頂点Ｅを出発してから８秒後の線分ＡＰの長さは何ｃｍか。 |
| 解説 |
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| Ｐは秒速１ｃｍなので 出発して８秒後のＰの位置をＰ’とすると ＦＰ’＝２ｃｍ 線分ＦＰ’の長さは 三平方の定理より （ＥＰ’）2＝ＥＦ2＋ＦＰ’2＝６2＋２2＝４０ 線分ＡＰ’の長さは 三平方の定理より （ＡＰ’）2＝ＡＥ2＋（ＥＰ’）2＝６2＋４０ ＡＰ’＝２√19 |
| 答 ２√19 |
| (1) ７≦ｔ≦１０ のとき、△EFPの面積と△EHQの面積が等しくなるようなｔの値を求めなさい。 |
| 解説 |
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| 秒速1cmでｔ秒間に進む距離をｔ’とする。７≦ｔ≦１０ のとき、△EFPの面積と△EHQの面積が等しくなるときのEPの長さは １＋ｔ’,同様に QHの長さは６－２ｔ’。 EF：EH＝６：８＝３：４ なので EP：QH＝４：３になるとき△EFPの面積と△EHQの面積が等しくなる。 よって １＋ｔ’：６－２ｔ’＝４：３ これを解いて ｔ’＝21/11 P・Qが同時に出発してから７秒後からさらに21/11秒後。 ７＋21/11＝98/11 |
| 答 98/11 |
| (2) ６≦ｔ≦１０ のとき、点Pと点Qを結んでできる三角すいA－EPQの体積が４０ｃｍ3になるようなｔの値は２つある。その２つの値を求めなさい。 |
| １回目 解説 |
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| 三角すいＡーＥＰＱの高さは６ｃｍなので、 体積が４０ｃｍ3になるときの底面積ＥＰＱは |
| △ＥＰＱ×６×1/3＝４０ △ＥＰＱ＝４０×３÷６＝２０(ｃ㎡) |
| １回目 |
| ６≦ｔ≦７ のとき |
| P,Qともに辺FG上にある。 |
| △ＥＰＱ＝EF×PQ間の長さ×1/2＝２０ EP間の長さ＝20/3 |
| ｔ＝６のとき PQ間の長さは６ｃｍなので |
| （20/3ー６）÷（２－１）＝2/3 |
| よって P,Qが同時にEを出発して6秒後からさらに2/3秒後 ６＋2/3＝20/3 |
| １回目 ｔ＝20/3 |
| 2回目 |
| ７≦ｔ≦１０ のとき |
| Pは辺FG上に、Qは辺GH上ある。 |
| PQが同時にEを出発して７秒後から進むPの長さをｔ’, Qの長さを２ｔ’とすると |
| △ＥＰＱの面積が２０ｃ㎡になるときは 図の通り |
| 長方形EFGH－△EFP－△PGQ－△QHE より |
| ８×６－（１＋ｔ’）×６÷２－（７－ｔ’）×２ｔ’÷２－（６－２ｔ’）×８÷２＝２０ |
| これを解いて （ｔ’－１）2＝０ ｔ’＝１ |
| よって 2回目 ７＋１＝８秒後 |
| 答 20/3, ８ |
