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2015年度青雲高校高等学校入試問題(過去問) 解答解説

青雲高校高等学校過去問研究

2015年度数学入試問題は例年通り大問5題構成で、１．小問集合　２．確率　３．二次関数のグラフ　４．平面図形　５．立体図形でした。基本から標準レベルの出題内容です。難問・奇問に手を出さずに標準的な問題を十分練習して本番に備えましょう。

今回は５．立体図形を解説します。

問題 5

一辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHから正四面体DBEGをつくる。

さらに、辺DB上にDP：PB = 2：1となる点Pを、辺EB上にEQ：QB = 3：2となる点Qをとる。

次の各問いに答えよ。

(1)正四面体DBEGの体積を求めよ。

(2)四面体DPEGの体積を求めよ。

(3) EPとDQの交点をRとする。このとき、四面体DREGの体積を求めよ。

スペースＯＮＥプロ家庭教師の解答で、青雲高校高等学校の発表ではありません。

(1)　解答

(1)　正四面体DBEGの体積を求めよ。
解答
正四面体DBEG = 一辺の長さが6の立方体ABCD-EFGH - (三角錐ABDE + 三角錐ABDE + 三角錐ABDE + 三角錐ABDE) 三角錐ABDE ≡ 三角錐ABDE ≡ 三角錐ABDE ≡ 三角錐ABDE より
別解


答　　　　72

(2)　解答

(2)四面体DPEGの体積を求めよ。
解答
DP：PB = 2：1　より　四面体DPEG：四面体PBEG = 2：1

答　　　48

(3)　解答

(3) EPとDQの交点をRとする。このとき、四面体DREGの体積を求めよ。
解答
点Pを通り、DQと平行な直線とBEとの交点をSとする。 BS：SQ = BP：PD = 1：2 BQ：QE = 2：3