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豊島岡女子学園高等学校数学過去問研究

2010年度豊島岡女子学園高等学校数学入試問題は、１．2.　小問集合　3. 場合の数（座標上の点）　4.　二次関数と一次関数のグラフ　5.　連立方程式の応用　6.　立体図形　の大問６題構成。設問数18箇所でした。

2011年度一般入試の数学受験者平均点は62.55点　合格者平均点は72.31点でした。

受験者・合格者平均点が昨年度より若干低くなりました。昨年度に比べ(2)の小問がやや難度が上がったことを反映しているようです。

今回は　２．小問集合を解説します。

（１）解説　解答

１個30円のみかんと１個60円のりんごと１個80円のかきを合計で15個買いました。みかんとりんごの個数の合計はかきの合計の２倍となり、代金の合計は790円となりました。このとき、みかんは何個買いましたか。

解説

みかんの個数をχ，りんごの個数をуとする。かきの個数は　15 - (χ+у)

みかんとりんごの個数の合計はかきの合計の２倍なので、　2×(15 - χ - у) =χ + у
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　30 - 3χ - 3у = 0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　χ + у - 10 = 0・・・①

値段の合計は　：　30χ+ 60у＋80×(15 - χ-у)＝790　
　　　　　　　　　5χ + 2у - 41 = 0・・・　②

①，②を解くと　χ＝７

答　　　7個

（２）解説　解答　

2次方程式χ² + aχ + b = 0 の２つの解が2次方程式　χ² - χ - 12 = 0 の解よりそれぞれ2だけ大きいとき、定数 a, b の値を求めなさい。

解説

χ² - χ - 12 = 0 ( χ- 4 ) ( χ + 3 ) = 0 　　χ = 4 , χ = -3

χ = 4 , χ = -3 よりそれぞれ2だけ大きいとき　　

χ = 4 + 2 = 6, χ = -3 + 2 = -1よって　（χ- 6 ) ( χ + 1 ) = χ² - 5χ - 6

答　　　a = -5 　， b = -6

（３）解説　解答



解説


点（-2 ,-1 )を通る反比例の式なので、a = χуに ( -2 , -1 )を代入して　a = 2

点Ｐのχ座標をｔ，とすると、у座標は2/ｔ ，

Q座標は　（０ ，2/ｔ )

三角形　ＯＰＱの面積は　　ｔ×2/ｔ×1/2＝１

答　　　　　１


（４）解説　解答

点Ｏを中心とし、半径6ｃｍ，中心角30°のおうぎ形ＯＡＢがあります。

線分ＯＢ上の点Ｃを中心とし、点Ｂを通る半円が線分ＯＡと接しています。

このとき、斜線部分の面積を求めなさい。



解説




点ＣからＡＯに垂線をおろし、その交点をＤとし、点ＢからＡＯに垂線をおろし、その交点をＥとする。

半径ＢＣ＝ＣＤ＝ｒとする。

三平方の定理より　　ＯＢ＝６，　ＢＥ＝３，

　　　　　　　　　　　　　ＯＣ＝６－ｒ，　ＣＤ＝ｒ，

△OCD∽△OBE　より

　　　　　　　　　　　　　OB：OC＝BE：CD

　　　　　　　　　　　　　６：（６－ｒ）＝３：ｒ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｒ＝２

斜線部分の面積＝おうぎ形OBA－（おうぎ形CBD＋△CDO）

　　　　　　　おうぎ形CBDの中心角　120°，DO＝2√3,

　　　　６²π×30/360ー（２²π×120/360＋2√3×２×1/2）　＝5/3πー２√3

答　　　　5/3πー２√3