プロ家庭教師集団スペースＯＮＥの高校受験志望校合格のための過去問対策筑波大学附属駒場高等学校2014年度数学入試問題平面図形解説解答

筑波大学付属駒場高等学校過去問研究

筑波大学附属駒場高等学校2014年度数学入試問題は、例年通り小問集合のない大問４題構成でした。

出題内容も例年通り　１．一次関数二次関数のグラフと図形（枝問３）　　２．数の性質（枝問３）　３．平面図形（枝問３）　４．空間図形（枝問3）でした。各大問とも　(1)(2)は解きやすい問題ですが、(3)は難問揃いです。応用レベルの問題を繰り返し学習し本番に備えましょう。

今回は　３．平面図形（枝問３）を解説します。補助線を使って求めていきましょう。

数学入試問題　３．平面図形

問題　3

点Oを中心とする半径rcmの円Oと、点O'を中心とする変形r'cmの円O'があり、OO'＞(r + r')cmです。ただし、r＜r'とします。図のように、２つの円O，O'に接する直線BC，CA，ABがあり、３点D，E，Fはこれらの直線と円Oの接点，３点G，H，Iはこれらの直線と円O'の接点です。また、AB = 5cm，CA = 4cmです。　AF + BD + CE = χcmとして、次の問いに答えなさい。
(1)　線分BC,AIの長さをそれぞれχの式で表しなさい。
(2) (ア) ∠OBO'の大きさを求めなさい。　　(イ)rとr'の積rr'をχの式で表しなさい。
(3)　rr' = 12 のとき、△ABCの面積を求めなさい。

スペースＯＮＥプロ家庭教師の解答で、筑波大学付属駒場高等学校の発表ではありません。

　
(1) 解説解答

(1)　線分BC,AIの長さをそれぞれχの式で表しなさい。
線分BCの長さ　解説解答
円外の１点からその円に引いた２つの接線の長さは等しい。（接線の対称性）から、AF = AE，BD = BF，CE = CD　 AF + BD + CE + AE + BF + CD = 2χ また、AB = AF + BF = 5cm AC = AE + CE = 4cm AF + BD + CE + AE + BF + CD = 2χ 5 + 4 + BD + CD = 2χ BD + CD = BC = 2χ- 9

線分AIの長さ　解説解答
円O'において、接線の対称性より　BI = BG，CH = CG，AI = AH AI = AH = AB + BG + AC + CG = AB + AC + (BG + CG) = 5 + 4 + BC = 5 + 4 + 2χ- 9 = 2χ AI + AH = 2AI = 2χ したがって　AI = χ

答　　BC = 2χ- 9，　　　AI = χ

(2)　解説解答　

(2) (ア) ∠OBO'の大きさを求めなさい。
解説解答
△OFBと△ODBにおいて、 OF = OD (半径)，FB = DB(接線の対称性)，BO = BO(共通) 対応する三辺がそれぞれ等しいので△OFB ≡ △ODB 従って　∠FBO = ∠DBO　・・・① 同様に　△O'GB ≡ △O'IB 従って　∠GBO' = ∠IBO'　・・・② ∠FBO + ∠DBO + ∠GBO' + ∠IBO' = 180° (∠FBO + ∠IBO') + (∠DBO + ∠GBO') = 180° ①，②より (∠FBO + ∠IBO') = (∠DBO + ∠GBO') なので ∠OBO'　= ∠DBO + ∠GBO' = 180÷2 = 90°
答　　　９０°

別解
円Oは△ABCの内接円なので、内心は三角形の3つの内角の二等分線の交点であることから、　∠FBO = ∠DBO　・・・① 同様にBOは∠GBIの二等分線なので、∠GBO' = ∠IBO'　・・・② ①，②より (∠FBO + ∠IBO') = (∠DBO + ∠GBO') なので ∠OBO'　= ∠DBO + ∠GBO' = 180÷2 = 90° 答　　　９０°

(イ)rとr'の積rr'をχの式で表しなさい。
解説解答
(ア)より　∠OBO'　= ∠DBO + ∠GBO' = 90° よって　∠DBO = 90°- ∠GBO' ・・・① また　△GBO'は　∠O'GB = 90°なので　∠BO'G = 90°- ∠GBO'　・・・② ①，②より　△ DBOと△GO'Bは直角と他の鋭角が等しいので　△ DBO ∽ △GO'B よって　OD ：BG = DB ：GO' ・・・③ FB + DB = (AB + BC + CD) - ( AF + AE + EC + DC) AF = AE ,　EC = DC なので　AF + AE + EC + DC = 2(AE + EC) = 2C より FB + DB = AB + BC + CD - 2C = 5 + (2χ - 9) + 4 - 2×4 = 2χ - 8 FB = DB なので　DB = (2χ - 8)÷2 = χ - 4 OD = r ,　DG = r' ,　BG = IB = χ - 5 , DB = χ - 4 を③に代入して r ： (χ - 5) = (χ　- 4) ：r' 内項の積 = 外項の積　より r r' = (χ - 5)(χ　- 4) = χ2 - 9χ + 20 ・・・答

(3)　解説解答　

(3)　rr' = 12 のとき、△ABCの面積を求めなさい。
解説解答
(2)(ア)より rr' = χ2 - 9χ + 20 = 12 χ2 - 9χ + 8 = 0 (χ- 8 )(χ- 1) = 0 　　χ = 1,8 2χ - 9＞ 0 なので　χ = 8 したがって　BC = 2χ - 9 = 2×8 - 9 = 7 BF = BD = χ- 4 = 8 - 4 = 4 AI = χ = 8 また　△AOFと△AO'Iにおいて ∠OFA = ∠O'IA = 90° ∠FAO = ∠IAO' (共通)　二角相等なので　△AOF ∽ △AO'I OF：O'I = FA ：IA OF = r ,O'I = r' なので r：r' = (5-4)：8 = 1：8

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2014年度筑波大学付属駒場高等学校入試問題(過去問) 解答解説

筑波大学付属駒場高等学校過去問研究

問題 3

(1) 解説解答

(2) 解説解答

(3) 解説解答

問題　3

　
(1) 解説解答

(2)　解説解答　

(3)　解説解答　