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2009年度東邦大学附属東邦中学校第１回算数入試問題(過去問)解説解答

東邦大学附属東邦中学校過去問研究

算数入試問題注目の一題　方陣算にチャレンジ）

７　問題



		図Ⅰのように、3,600枚の硬貨を正方形の形に並べます。次に図Ⅱのように一番外側の１周部分（斜線部）の硬貨を取り除きます。同じようにして、順に外側の硬貨を取り除く操作を、硬貨が４枚残るまで続けます。このとき、つぎの（１）～（３）の問いに答えなさい。（１）　１０回目の操作の後、残った硬貨は何枚ですか（２）　何回目かの操作の後、それまでに取り除いた硬貨を合計した枚数が、残った硬貨の枚数より初めて多くなりました。何回目の操作の後ですか。（３）　ある１回の操作で取り除いた硬貨を全部使って、正方形の形に並べられる場合があります。はじめに出来るのは６回目ですが、次に正方形の形に並べられるのは何回目ですか。

スペースＯＮＥプロ家庭教師の解説・解答で東邦大学附属東邦中学校の発表ではありません。

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（１）解答　

（２）　何回目かの操作の後、それまでに取り除いた硬貨を合計した枚数が、残った硬貨の枚数より初めて多くなりました。何回目の操作の後ですか。

解説

図のように　１回目に取り除く硬貨の数　（６０－１）×４　このとき残った硬貨の数　（６０－２）×（６０－２）
同様に２回目に取り除く硬貨の数（６０－３）×４　よって　毎回取り除く硬貨の数は６０－１・３・５・７・・・と規則的に続くので、
１０回目に取りのぞく硬貨の数は　２×１０－１＝１９　（６０－１９）×４　
このとき残った硬貨の数は　｛６０－（１９＋１）｝×｛６０－（１９＋１）｝＝１６００個

（別解）　
１回目に取り除く硬貨の数　２３６個　２回目には２２８個・・・と等差が８の数列になるので、
１０回目に取り除く硬貨の数は２３６－８×（１０－１）＝１６４個　
等差数列の和より１回目から１０回目までに取り除く硬貨の数は　（２３６＋１６４）×１０÷２＝２０００　
残った硬貨の数は３６００－２０００＝１６００個

答　　１６００個

（２）解説・解答

（２）　何回目かの操作の後、それまでに取り除いた硬貨を合計した枚数が、残った硬貨の枚数より初めて多くなりました。何回目の操作の後ですか。

解説

　全部で３６００こあるので、３６００÷２＝１８００　取り除いた硬貨の合計が１８０１個以上になったときの操作になる。１０回目の操作の後で取り除いた硬貨の合計は　２０００個　９回目までに取り除いた硬貨の合計は　２０００－１６４＝１８３６個　８回目までに取り除いた硬貨の合計は２０００－１６４×２ー８＝１６６４個　よって９回目の操作の後９回目までに取り除いた硬貨の合計が、残った硬貨の合計より多くなる。

答　　　９回目

（３）解説・解答

（３）　ある１回の操作で取り除いた硬貨を全部使って、正方形の形に並べられる場合があります。はじめに出来るのは６回目ですが、次に正方形の形に並べられるのは何回目ですか。

解説

６回目の操作のときに取り除く硬貨の数は　２×６ー１＝１１　（６０－１１）×４＝１９６個　１９６＝１４×１４　
次に正方形の形に並べられる硬貨の数は　１３×１３，１２×１２，１１×１１・・・となり、取り除く硬貨の数は２３６－８の倍数になる。
これに当てはまるのは１０×１０＝１００　２３６－１００＝１３６＝１７×８　１回の操作で取り除く硬貨が１００枚のとき、　１７＋１＝１８回目

答　　１８回目　　

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