都立進学指導重点校 過去問傾向と対策
都立日比谷高校独自作成問題過去問傾向と対策
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都立日比谷高校2009年度数学独自作成問題2.平面図形問題
〔問1〕 図１において，線分BC上に，BD：DC＝5：3となるような点Dを，右に示した線分BCをもとにして，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Dの位置を示す文字Dも書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおく
〔問2〕 右の図2は，図1において，辺ABの中点をE，辺ACの中点をFとし，辺BC上に異なる2点をとり，頂点Bに近い方から順に点G，点HとしてGH＝4cmとし，さらに点Eと点Hを結び，点Fト点Gから線分EHにひいた垂線と，線分EHとの交点をそれぞれⅠ，Jとした場合を表している。
ただし，点Gは頂点Bに，点Hは頂点Cに一致しないものとする。
点Fと点J，点Gと点Ⅰをそれぞれ結んでできる四角形FJGIは平行四辺形であることを証明せよ。
〔間3〕 図2において，CH＝3cmとするとき，点Eと点Gを結んでできる線分EGの長さは何cmか。
都立日比谷高校2009年度数学独自作成問題2.平面図形 問2解説解答
問2 右の図2は，図1において，辺ABの中点をE，辺ACの中点をFとし，辺BC上に異なる2点をとり，頂点Bに近い方から順に点G，点HとしてGH＝4cmとし，さらに点Eと点Hを結び，点Fト点Gから線分EHにひいた垂線と，線分EHとの交点をそれぞれⅠ，Jとした場合を表している。
ただし，点Gは頂点Bに，点Hは頂点Cに一致しないものとする。
点Fと点J，点Gと点Ⅰをそれぞれ結んでできる四角形FJGIは平行四辺形であることを証明せよ。
解説
中点連結定理（三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分である。）を用いて証明しましょう。
証明
ＥＦはそれぞれ辺ＡＢ，辺ＡＣの中点なので、中点連結定理より ＥＦ//BC, EF＝1/2BC＝４ｃｍ
仮定より EF//GH・・・① EF=GH＝４ｍ・・・②
△EIFと△HJGにおいて
仮定より ∠EIF＝∠HJG＝∠R・・・③
また平行線の錯角は等しいので∠FEI＝∠GHJ・・・④
②③④より 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいから△EIF≡△HJG
したがってFI＝GJ・・・⑤
①よりFI//GJ
四角形FJGIにおいて ①⑤より１組の向かいある辺が平行で等しいので、四角形FJGIは平行四辺形である。
ただし，点Gは頂点Bに，点Hは頂点Cに一致しないものとする。
点Fと点J，点Gと点Ⅰをそれぞれ結んでできる四角形FJGIは平行四辺形であることを証明せよ。
解説
中点連結定理（三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分である。）を用いて証明しましょう。
証明
ＥＦはそれぞれ辺ＡＢ，辺ＡＣの中点なので、中点連結定理より ＥＦ//BC, EF＝1/2BC＝４ｃｍ
仮定より EF//GH・・・① EF=GH＝４ｍ・・・②
△EIFと△HJGにおいて
仮定より ∠EIF＝∠HJG＝∠R・・・③
また平行線の錯角は等しいので∠FEI＝∠GHJ・・・④
②③④より 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいから△EIF≡△HJG
したがってFI＝GJ・・・⑤
①よりFI//GJ
四角形FJGIにおいて ①⑤より１組の向かいある辺が平行で等しいので、四角形FJGIは平行四辺形である。
都立日比谷高校2009年度数学独自作成問題2.平面図形 問3解説解答
問3 図2において，CH＝3cmとするとき，点Eと点Gを結んでできる線分EGの長さは何cmか。
解説
Eから辺BCに垂線をおろし、辺BCとの交点をKとする。
EB = 4cm， BK = 2cm
三平方の定理より
BK＝２ｃｍ BG=１ｃｍより GK=１ｃｍ
