東京都立日比谷高等学校指定数学入試問題研究
東京都立進学指導重点校数学入試問題
2014年度から、進学重点校が複数の問題候補からそれぞれ独自に問題を選択指定して、問題セットを作成するようになりました。
今回は日比谷高校指定問題から3.平面図形(円の性質)を解説します。[問2](1)は証明問題です。
都立日比谷高校 過去問対策
都立日比谷高校独自作成問題解説解答
都立日比谷高校受験指導はプロ家庭教師集団にお任せください。
都立日比谷高校2016年度数学入試問題4.平面図形(円の性質) 問題
都立日比谷高校2016年度数学入試問題4.平面図形(円の性質) 問1解説解答
[問1] 頂点Ｃを含まない弧ABの長さと、頂点Aを含まない弧BCの長さの比が4：3，頂点Aを含まない弧BCの長さと、頂点Bを含まない弧CAの長さの比が3：5のとき、∠AECの大きさは何度か。
解説解答
弧AB：弧BC：弧CA = 4：3：5
よって ∠AOB：∠BOC：∠BOC = 4：3：5
答 105°
解説解答
弧AB：弧BC：弧CA = 4：3：5
よって ∠AOB：∠BOC：∠BOC = 4：3：5
答 105°
都立日比谷高校2016年度数学入試問題4.平面図形(円の性質) 問題2①解説解答
解説
∠BAC = ∠BHCは弧BCの円周角なのですぐ気がつくでしょう。
∠ABG = ∠HBCは図の通り∠DFB = ∠FBC + ∠BCFから証明しましょう。
証明
△ABGと△HBCにおいて
弧BCの円周角なので、∠GAB = ∠CHB・・・①
仮定より DF = DBなので∠DBF = ∠DFB
仮定より AD = DBなので∠DBA = ∠BCD
∠ABG = ∠DBF - ∠DBA
∠HBC = ∠DFB = ∠BCD
したがって ∠ABG = ∠HBC・・・②
①，②より2組の角がそれぞれ等しいので
△ABG ∽ △HBC
都立日比谷高校2016年度数学入試問題4.平面図形(円の性質) 問2②解説解答
(2) 右の図3は、図2において、辺ABが円Oの直径となる場合を表している。AB = 10cm，BC = 6cmのとき、△ABGの面積をSc㎡，△HBCの面積をTc㎡とする。SとTの比を最も簡単な整数の比で表せ。
解説解答
点Hから辺ABに垂線を下ろし、その交点をIとする。また、点Hと円の中心Oとを直線で結ぶ。
(1)より ∠ABH = ∠HBC = a°とする。
∠ABC = ∠ABH + ∠HBC = ∠HOI = 2a°
∠BCA = ∠OIH = 90°
二角相等より △ABC∽△HOI
△ABCの辺の比は AB：BC：CA = 5：3：4なので、△HOIの辺の比も HO：OI：IH = 5：3：4
HO = 5cm(半径)なので、 OI = 3cm，IH = 4cm
三平方の定理より
△ABG∽△HBC なので
答 5：4
