慶應義塾女子高等学校数学過去問研究
2010年度慶応義塾女子高等学校数学入試問題は１．小問２問 ２．関数 ３．整数 ４．平面図形の証明 ５．立体図形と展開図
例年通りの大問５題構成，出題内容，全問記述の解答形式でした。
昨年度よりやや易しく、解きやすく、標準レベルの出題でした。今回は５．立体図形と展開図を解説します。
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慶応義塾女子高校2010年度数学入試問題5.立体図形と展開図 問題
[5] 図１のような１辺の長さが３の立方体がある。
この立方体の頂点Ａから辺ＣＤ，辺ＧＨ上の点を通り頂点Ｆを経由して，さらに辺ＢＣ，辺ＡＤ上の点を通って点Ｈまでひもをかける。
そのひもの長さが最も短くなる場合にひもが辺ＣＤ，辺ＢＣ，辺ＡＤ上で通る点をそれぞれＩ，Ｊ，Ｋとし、線分ＡＩと線分ＪＫの交点をＬとする。
次の問に答えよ。
（１）立方体の展開図に点Ｌの位置を図示せよ。
（２）線分ＡＫの長さを求めよ。
（３）点Ｌから辺ＡＢに垂線ＬＭをひく。ＡＭ：ＭＢを求めよ。
（４）線分ＢＬの長さを求めよ。
（５）この立方体において、線分ＦＬの長さを求めよ。
慶応義塾女子高校2010年度数学入試問題5.立体図形と展開図(1)解説解答
[1] 立方体の展開図に点Ｌの位置を図示せよ。
解説解答
下図のように点Ａと点Ｆ’，点Ｈ’と点Ｆ”を直線で結ぶ。その交点が点Ｌである。
答
解説解答
下図のように点Ａと点Ｆ’，点Ｈ’と点Ｆ”を直線で結ぶ。その交点が点Ｌである。
答
慶応義塾女子高校2010年度数学入試問題5.立体図形と展開図(2)解説解答
解説解答
点Ｋの位置は下図の通り。
△FAKと△FEHは ∠AFD＝∠EFH（共通），∠FAK＝∠FEH＝９０° より △FAK ∽ △FEH
FA：FE＝２：３なので、AK：EH＝２：３
１辺の長さが３なので、
答 2
慶応義塾女子高校2010年度数学入試問題5.立体図形と展開図(3)解説解答
[3] 点Ｌから辺ＡＢに垂線ＬＭをひく。ＡＭ：ＭＢを求めよ。
解説解答
直線ＡＦ’と辺ＤＣとの交点をＮとする。
△F'EA ∽ △ＮＤＡ より ＡＤ：ＡＥ＝１：３
⊿AＦＬ∽⊿ＮＨＬ より ＡＦ：ＨＮ＝３×２：３＋１＝６：４＝３：２
よって ＡＬ：ＬＮ＝３：２
ＮからＡＢに垂線をおろし、その交点をＰとする。
△AＭＬ∽ △ＡＰＮ より ＡＭ：ＭＰ＝３：２
ＤＮ＝ＡＰ＝１なので、
答 １：４
慶応義塾女子高校2010年度数学入試問題5.立体図形と展開図(4)解説解答
[4] 線分ＢＬの長さを求めよ。
解説解答
⊿ＡＤＮは ＡＤ＝３，ＤＮ＝１の直角三角形なので、
ＡＬ：ＬＮ＝３：２ なので
⊿ＡＭＬも⊿ＢＬＭも直角三角形で、ＭＬ＝共通なので
よって BL = 3
答 3
慶応義塾女子高校2010年度数学入試問題5.立体図形と展開図(5)解説解答
[5] この立方体において、線分ＦＬの長さを求めよ。
解説解答
ＢＬ＝３, ＢＦ＝３ なので、
△ＬＢＦは直角二等辺三角形
