高校受験はプロにお任せ/プロ家庭教師集団スペースＯＮＥの桜美林高校2009年度数学入試問題平面図形

桜美林高校過去問傾向と対策
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2009年度桜美林高等学校数学入試問題は１．小問集合１０題　　２．座標とグラフ　　３．円の性質　　４．　数列の大問４問構成でした。

図のように，半径3 の円に正三角形ABCが内接している。点P は∠A に対する弧BC上を点B から点C まで動く。　

いま，BP ＝ PQ となるようにAP の延長上に点Qをとるとき，次の問いに答えなさい。

桜美林高校数学入試問題解説解答

（1）　辺BC の長さを求めなさい。

（2）　∠ BQP の大きさを求めなさい。

（3）　点P がBからCまで動くあいだに，点Q　が動いた道のりを求めなさい。

（1）　辺BC の長さを求めなさい。

解説解答

図のように円の中心Oと点A,B,Cを結ぶ。Oから辺BCに垂線を下ろし交点をDとする。

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∠BOC = ∠AOB = ∠AOC = 360÷3 = 120°

∠BOD = 120 ÷ 2 = 60°

よって三角形BODはそれぞれの角度を30°，60°とする直角三角形。

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(2)　∠ BQP の大きさを求めなさい。

解説解答

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∠ACBは正三角形の１つの内角なので、∠６０°

∠ACBと∠APBはともに弧ABの円周角　よって∠ACB＝∠APB=∠６０°

また三角形BPQは　辺BP = 辺PQの二等辺三角形　よって∠PBQ = ∠BQP　

∠BQP = 60 ÷ 2 = 30°　　

解答　　３０°

(3)　点P がBからCまで動くあいだに，点Q が動いた道のりを求めなさい。

解説解答　

下図の通り。

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点Qが動く道のりのつくる放物線は、辺BCを半径とする中心角60°の扇形の円周×2