高校受験はプロにお任せ/プロ家庭教師集団スペースＯＮＥの都立西高校2012年度数学入試問題平面図形

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都立西高校　過去問傾向と対策

東京都立西高等学校独自作成考査問題過去問研究

独自数学入試問題

2012年度都立西高校第１次募集の実質倍率は男子2.12倍，女子1.47倍。数学の受験者平均点は59.2点でした。

数学入試問題の出題形式は例年通りの大問４題構成で　出題内容は、１．小問集合（作図問題１を含む）　２．関数のグラフ　３．円の性質（正面問題を含む）　４．方程式の応用（グラフ作図を含む）でした。

今回は　３．円の性質（証明問題）を解説します。

都立西高校2012年度独自作成考査問題数学3.平面図形　問題

都立西高校2012年度独自作成考査問題数学　3.平面図形　問1.解説解答

問1.　図２は、図１において、線分ＰＱが直径である場合を表している。

都立西高校数学平面図形問題解説解答

∠ＱＰＭ＝17°であるとき、∠ＢＱＰの大きさは何度か。

解説

△ＰＢＱにおいて、∠ＰBＱ＝９０°（直径ＰＱの円周角）

よって　∠ＢＱＰ = 90 - 51 = 39

答え　　　39°

都立西高校2012年度独自作成考査問題数学　3.平面図形　問2解説解答

解説

弧ＱＭの長さを①とする。

ＡＢ//PM，　弧AP＝弧PQなので　弧AP＝弧MB＝弧PQ＝②

弧と中心角の性質

答え　　22：7

都立西高校2012年度独自作成考査問題数学　3.平面図形　問3解説解答

解説

∠PSTが　△PNSにおいて∠PSNの補角,　∠QTSが　△QNTにおいて∠QMTの補角であることに着目し、

∠SPN＋∠PNS＝∠PST＝∠QTS＝∠TQM＋∠QMTであることを利用して証明しましょう。

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弧ＰＮ：弧ＡＮ＝１：２（仮定）より　∠ＰＭＮ：∠ＮＰＳ＝１：２　　

　　　∠ＰＭＮ＝∠aとおくと　∠ＮＰＳ＝２∠a

弧ＭＱ：弧ＢＭ＝１：２（仮定）より　∠ＱＮＭ：∠ＭＱＢ＝１：２　　

　　　∠ＱＮＭ＝∠ｂとおくと　∠ＭＱＢ＝２∠ｂ

また　弧ＰＱの円周角なので　∠ＱＮＰ＝∠ＰＭＱ＝∠ｃ　とおく。

∠ＰＳＴ＝∠ＮＰＳ＋∠ＱＮＰ＋∠ＱＮＭ＝２∠a＋∠ｃ＋∠ｂ

∠ＱＴＳ＝∠ＭＱＢ＋∠ＰＭＱ＋∠ＰＭＮ＝２∠ｂ＋∠ｃ＋∠a

∠PST＝∠ＱＴＳ（仮定）なので　

２∠a＋∠ｃ＋∠ｂ＝２∠ｂ＋∠ｃ＋∠a

　　∠a＝∠ｂ

よって　∠ＰＭＮ＝∠ＱＮＭ　　・・・①

また　∠ＰＮＭ＝∠ＱＮＰ＋∠ＱＮＭ＝∠ｃ＋∠ｂ

∠ＱＭＮ＝∠ＰＭＱ＋∠ＰＭＮ＝∠ｃ＋∠a＝∠ｃ＋∠ｂ

したがって　　∠ＰＮＭ＝∠ＱＭＮ　・・・②

さらに　　△ＰＭＮと△ＱＮＭにおいて　　　ＭＮ＝ＮＭ（共通）　・・・③

①　②　③　より　一辺と両端の角がそれぞれ等しいので　　　△ＰＭＮ≡△ＱＮＭ

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都立西高校2012年度独自作成考査問題数学 3.平面図形 問1.解説解答