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東京都立西高等学校自校作成入試問題対策

都立西高校第一次募集（ 学力検査に基づく選抜)の選考方法は
国語、数学、英語（自校作成問題）及び社会、理科（都立高校共通問題）の５教科の学力検査で、傾斜配点はありません。各教科100点満点、計500点を700点に換算します。
調査書点（300 点）並びに中学校英語スピーキングテスト（20 点）の合計
（1,020 点満点）を用いて選考します。なお，男女別定員では 20％の緩和措置を実施しています。
学力検査に基づく入試では、評定を調査書点として点数化し、学力検査を実施する教科の評定を 1 倍、学力検査を実施しない教科の評定を２倍して、算出します。

2023年度都立西高校自校作成数学考査問題は例年通り大問4題構成。1.小問集合5問，2.関数のグラフ　3.平面図形(円の性質と証明) 　4. 約束記号(新傾向の問題)　が出題されました。

例年通りの出題構成出題内容です。試験時間は50分ですが、記述量が多いので時間配分に注意しましょう。

今回は3.平面図形(相似形応用・円の性質と証明)を解説します。(2)は解答に行きつくまでに筋道を整理しながら丹念に解きましょう。
　　　　　　　　　　　

都立西高校2023年度自校作成数学考査問題3.平面図形　問2.解説解答

[問2]　図3は、図1において、∠BAC = ∠CADの場合を表している。
AB = 6cm，AD = 8cm　∠BAC = 30°のとき、△BCDの面積は何c㎡か。

解説解答



点Bから直線ACに垂線を下ろしその交点をF，点Dから直線ACに垂線を下ろし、その交点をGとする。

△ABFにおいて、∠FA = 30°，∠BFA = 90°　なので∠ABF = 60°　よって辺の比より



△BFEと△DGEにおいて

∠BEF = ∠DEG (対頂角)

∠BFE = ∠DGE = 90°

二角相等なので　△BFE ∽ △DGE　BF：DG = 3：4なので



△BFEにおいて　三平方の定理より



BE：BD = 3：3 + 4 = 3：7　なので







∠BAC = ∠CAD = 30°



よって　△CBDは二等辺三角形

点CからBDに垂線を下ろしその交点をHとする。




二等辺三角形の性質より



△BHCは∠CBH = 30°，∠BHC = 90°，∠HCB = 60°なので　辺の比より

都立西高校2023年度自校作成数学考査問題3.平面図形　問3.解説解答

[問3]　図4は、図1において、点Oが四角形ABCDの内部にあり、AC ⊥ NDとなるとき、点Oから辺BCに垂線を引き、辺BCとの交点をHとした場合を表している。

このとき、　AE × CH = OH × BE であることを証明せよ。

解説



内項の積 = 外項の積　なので、　AE × CH = OH × BE を変形すると、AE：OH = BE：CHとなる。

したがって　△AEB ∽ △OHC であることを証明すればよいことになる。

証明

点Oと頂点C，点Oと頂点Cをそれぞれ結ぶ。

△BOCにおいて　BO = CO (円Oの半径)

よって　△BOCは二等辺三角形。二等辺三角形の頂角に二等分線は底辺と垂直に交わるので

∠BOH = ∠COH

したがって　∠COHは弧BCの中心角の1/2・・・①

△AEB と △OHCにおいて

①と円周角の定理より　∠BAE = ∠COH (弧BCの中心角の1/2) ・・・②

仮定より　∠AEB = ∠OHC = 90° ・・・③

②，③より　2組の角がそれぞれ等しいので　△AEB ∽ △OHC

よって　AE：OH = BE：CH から　AE×OH = OH ×BE