東京都立進学指導重点校数学過去問研究
2014年度から都立日比谷，西，戸山，八王子東，青山，国立，立川が進学指導重点校として、共通の問題を出題するようになりました。そして、［1」～［4］の小問集合・大問についてそれぞれ問題を選択指定し、出題されました。
今回は[3]の平面図形問題の中から都立日比谷高校・都立西高校・都立八王子東高校・都立立川高校・都立国立高校選択指定のＡ問題を解説します。
東京都立進学指導重点高校 過去問対策
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東京都立進学指導重点高校2014年度 数学入試A問題 3. 平面図形 （証明問題） 問題
問１ 解説解答
図１において、点Bと点O，Oと点Qをそれぞれ結んだ場合を考える。AR = QR，∠ARQ = 40°,∠BOQ = 120°のとき、点Aを含まない弧BPの長さと、点Aを含まない弧BQの長さの比を最も簡単な整数の比で表せ。
解説
弧の長さの比は弧の中心角＝円周角の大きさの比に比例するので、弧BPと弧BQの円周角の大きさをそれぞれ求めるとよい。
弧BQの円周角∠QAB = ∠BOQ÷2 = 120÷2 = 60°
△ARQは AR = QRの二等辺三角形なので ∠RAQ = ∠RQA = (180 - 40)÷2 = 70°
弧BPの円周角∠BAP = ∠BQP = 180 - (∠RAQ + ∠QAB) = 180 - (70 + 60) = 50°
したがって ∠BAP：∠QAB = 50°：60°
よって 弧BP：弧BQ = 5：6
答 ５：６
解説
弧の長さの比は弧の中心角＝円周角の大きさの比に比例するので、弧BPと弧BQの円周角の大きさをそれぞれ求めるとよい。
弧BQの円周角∠QAB = ∠BOQ÷2 = 120÷2 = 60°
△ARQは AR = QRの二等辺三角形なので ∠RAQ = ∠RQA = (180 - 40)÷2 = 70°
弧BPの円周角∠BAP = ∠BQP = 180 - (∠RAQ + ∠QAB) = 180 - (70 + 60) = 50°
したがって ∠BAP：∠QAB = 50°：60°
よって 弧BP：弧BQ = 5：6
答 ５：６
問２ ① 解説解答
解説
まず∠ABQ = ∠a，∠PBA = ∠b とおく。
弧AQの円周角より ∠APQ = ∠ABQ = ∠a ・・・①
PQ = QR より∠APQ = ∠ARQ = ∠a ・・・②
①，②より ∠ABQ = ∠ARQ = ∠a ・・・③
また 四角形AQBPは円に内接する四角形なので ∠RAQ = ∠PBQ = ∠ABQ + ∠PBA = ∠a + ∠b・・・④
BQ = PQ より ∠QPB = ∠PBQ = ∠a + ∠b ・・・⑤
弧QBの円周角より ∠QAB = ∠QAB = ∠QPB = ∠a + ∠b ・・・⑥
④，⑤，⑥より ∠RAQ = ∠QAB = ∠a + ∠b ・・・⑦
③，⑦より 三角形の内角の和は180°なので
∠AQR = 180°- (∠QRA + ∠RAQ) = 180°- (∠a + ∠a + ∠b)= 180°- 2∠a - ∠b ・・・⑧
∠AQB = 180°- (∠QAB + ∠QBA) = 180°- (∠a + ∠b + ∠a) = 180°- 2 ∠a - ∠b ・・・⑨
⑧，⑨より ∠AQB = ∠AQR ・・・⑩
△ABQと△ARQにおいて 仮定より BQ = RQ，辺AQは共通。
⑩より 二辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ABQ≡△ARQ
問２ ② 解説解答
(2) 線分ABが円Oの直径になる場合を考える。AB = 3cm，AQ = 1cmのとき、線分PRの長さは何cmか。
解説
∠AQBは直径の円周角なので 90°
よって 三平方の定理より
△PRQは QR = PQの二等辺三角形なので、、頂点Qから辺PRに垂線をおろし、その交点をMとする。
二等辺三角形の性質より RM = PM
また △MQPと△QABにおいて、∠PMQ = ∠BQA = 90°，弧AQの円周角なので、∠QPM = ∠ABQ
二角相等より、△MQP∽△QAB
よって QP：PM = AB：BQ したがって、
